Deret Geometri Tak Terhingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1. Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga.
Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian perhatikan, yaitu:
Kasus 1
Jika –1 < r < 1, maka rⁿ menuju 0. Akibatnya:

Deret geometri dengan –1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

Kasus 2
Jika r < –1 atau r > 1, maka untuk n → ∞, nilai rⁿ makin besar.
Untuk r < –1, n → ∞ dengan n ganjil didapat rⁿ → –∞
Untuk r < –1, n → ∞ dengan n genap didapat rⁿ → ∞
Untuk r > 1, n → ∞ didapat rⁿ → ∞
Akibatnya,


Deret geometri dengan r < –1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar)

Contoh Soal 1
1. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut!
Jawab:
U₂ = 8, berarti ar = 8
U₅ = 64, berarti: ar⁴ = 64
ar.r³ = 64
8.r³ = 64
r³ = 64
r = 2

Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan ar = 8, kalian mendapatkan
ar = 8
a.2 = 8
sehingga a = 4.
Jumlah n suku pertama deret ini adalah


Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah
S₁₀ = 4(2¹⁰ – 1)
= 4(1024 – 1)
= 4(1023)
= 4092

Contoh Soal 2
Tentukanlah nilai x agar deret geometri
1 + x + x² + x³ + ... konvergen.
Jawab:
Tentukan rasio dari deret tersebut terlebih dahulu.
r = x/1 = x
Agar deret geometri tersebut konvergen, haruslah –1 < r < 1 sehingga –1 < x < 1.


Contoh Soal 3
Niko Sentera memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima potong tali ini membentuk barisan geometri. Jika potongan yang paling pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang 162 cm, berapakah panjang tali semula?
Jawab:
Panjang potongan yang paling pendek merupakan U₁, sedangkan panjang potongan yang paling panjang merupakan U₅.
Jadi, U₁ = 2 cm dan U₅ = 162 cm.
U₅ = 162 cm, didapat
ar⁴ = 162 cm.
Oleh karena a = 2 cm, maka
2.r⁴ = 162 cm.
r⁴ = 81
r = 3
Jadi, r = 3.
Panjang tali semula merupakan jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut, yaitu:

Jadi, panjang tali semula adalah 242 cm.