Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pada bagian depan telah kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel, salah satunya dengan substitusi (penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2, dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.

Jika x diganti 1 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(1) > 2 ⇔ 7 > 2 (pernyataan benar)	Jika x diganti 2 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(2) > 2 ⇔ 10 – 6 > 2 ⇔ 4 > 2 (pernyataan benar)
Jika x diganti 3 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(3) > 2 ⇔ 10 – 9 > 2 ⇔ 1 > 2 (pernyataan salah)	Jika x diganti 4 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(4) > 2 ⇔ 10 – 12 > 2 ⇔ –2 > 2 (pernyataan salah)

Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 – 3x > 2 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 – 3x > 2 adalah {1, 2}.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:
Cara 1
Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperoleh persamaan 4x – 2 = 3 x + 5.
Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah x = 7. Selanjutnya ambillah satu bilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari 7.
Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 2 > 3 x + 5.
Jika x diganti 6 maka
4x – 2 > 3 x + 5
4(6) – 2 > 3(6) + 5
24 – 2 > 18 + 5
22 > 23 (bernilai salah)

Jika x diganti 8 maka
4x – 2 > 3 x + 5
4(8) – 2 > 3(8) + 5
32 – 2 > 24 + 5
30 > 29 (bernilai benar)
Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian dari 4x – 2 > 3x + 5 adalah {8, 9, 10, ...}.


Cara 2
4x – 2 > 3x + 5
4x – 2 + 2 > 3x + 5 + 2 (kedua ruas ditambah 2)
4x > 3x + 7
4x + (–3 x) > 3x + (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah –3x)
x > 7
Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.


Cara 3
4x – 2 > 3x + 5
4x – 2 – 5 > 3x + 5 – 5 (kedua ruas dikurangi 5)
4x – 7 > 3x
4x + (–4x) – 7 > 3x + (–4x) (kedua ruas ditambah –4x)
–7 > – x
–7 : (–1) < –x : (–1) (kedua ruas di bagi dengan –1 tetapi tanda ketidaksamaan berubah menjadi <) 7 < x atau x > 7
Karena x anggota bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.


Berdasarkan contoh di atas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut.
a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=”.
b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana
1) > menjadi <; 3) < menjadi >;
2) ≥ menjadi ≤; 4) ≤ menjadi ≥.