Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Pengertian Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel.

Adik-adik pasti sering mendengar istilah Persamaan Linear Satu Variabel, kira-kira menurut adik-adik Persamaan Linear Satu Variabel itu apa sih??? (Pastinya bukan nama makanan yang di jual di toko Pizza ya, hehehe...)

Persamaan adalah Kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel, yang sering disingkat dengan PLSV.


Perhatikan kalimat terbuka pada persamaan x + 2 = 5.
Jika x pada persamaan x + 2 = 5 diganti dengan x = 3 maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti bilangan selain 3 maka persamaan x + 2 = 5 bernilai salah. Dalam hal ini, nilai x = 3 disebut penyelesaian dari persamaan linear x + 2 = 5.
Selanjutnya, himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2 = 5 adalah {3}.

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear.

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0.

Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax + b = c dimana a, b dan c adalah konstanta, dengan a ≠ 0 dan x merupakan variabel pada suatu himpunan.

Dari persamaan berikut, tentukan mana saja yang merupakan persamaan linear satu variabel.
a. 2x – 1 = 7
b. x² – x = 5
c. ½x = 3
d. 2x + 3y = 6
e. 3y + 2 = 5

Penyelesaian:
a. 2x – 1 = 7
Variabel pada 2x – 1 = 7 adalah x dan berpangkat 1, sehingga persamaan 2x – 1 = 7 merupakan persamaan
linear satu variabel.

b. x² – x = 5
Variabel pada persamaan x² – x = 5 adalah x dan x², sehingga variabelnya berpangkat 1 dan 2. Karena terdapat x berpangkat 2 maka persamaan x² – x = 5 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

c. ½x = 3
Karena variabel pada persamaan ½x = 3 berpangkat 1, maka ½x = 3 merupakan persamaan linear satu variabel.

d. 2x + 3y = 6
Variabel pada persamaan 2x + 3y = 6 ada dua, yaitu x dan y, sehingga 2x + 3y = 6 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

e. 3y + 2 = 5
Variabel pada 3y + 2 = 5 adalah y dan berpangkat 1, sehingga persamaan 3y + 2 = 5 merupakan persamaan linear satu variabel.


Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3 = 5, jika x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH 1
Cara 1	Cara 2
x + 3 = 5 Jika x diganti/diSubtitusi bilangan cacah, diperoleh: jika x = 0, maka 0 + 3 = 5 (kal. salah) jika x = 1, maka 1 + 3 = 5 (kal. salah) jika x = 2, maka 2 + 3 = 5 (kal. benar) Ternyata untuk x = 2, persamaan x + 3 = 5 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 5 adalah {2}.	x + 3       = 5 ⇔ x + 3 – 3 = 5 – 3 ⇔            x  =  2 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah { 2 }.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 jika x variabel pada himpunan bilangan bulat.

Penyelesaian:
     4x – 3 = 3x + 5
⇔ 4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3)
⇔     4x         = 3x + 8
⇔     4x – 3x = 3x – 3x + 8 (kedua ruas dikurangi 3x)
⇔            x    = 8
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 adalah x = {8}.

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.
1. 3x+1 = 4; x∈B ( B bilangan bulat )
2. 2y+5 = –3y+7; y∈Q ( Q bilangan rasional )

Penyelesaian :

PEMBAHASAN CONTOH 3
1. 3x + 1 = 4	2. 2y + 5 = –3y + 7
⇔ 3x + 1 – 1 = 4 – 1 ⇔           3x   = 3 ⇔     1/3.  3x = 3. 1/3 ⇔               x = 1 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }.	⇔ 2y + 5 – 5 = –3y + 7 – 5 ⇔          2y    = –3y + 2 ⇔     2y + 3y = 2 ⇔           5y   = 2 ⇔   1/5.  5y   = 1/5. 2 ⇔               y = 2/5 sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2/5}.